Problem: İki paralel çizgi kesişebilir.
Demiryolu, daralır ve ufukta bileşir.
Bununla birlikte, bu izdüşümsel uzayda doğru değildir, Örneğin, resimdeki tren demiryolu, gözlerden uzaklaştıkça daralır. Sonunda, iki paralel ray, sonsuzlukta bir nokta olan ufukta birleşir.
Öklit uzayı (Veya Kartezyen uzayı), 2D/ 3D geometrimizi çok iyi tanımlar, Ama izdüşümsel uzayı ele almada yeterli değildir (Aslında, Öklit geometrisi, izdüşümsel geometrinin bir alt kümesidir). Bir 2D nokta, kartezyan koordinatlarıyla (x, y) şeklinde ifade edilebilir.
Eğer bu nokta, sonsuzluğa giderse ne olacak? Sonsuzlukta nokta (∞,∞) olurdu, ve Öklit uzayında anlamsız olurdu. Paralel çizgiler, izdüşümsel uzayda sonsuzlukta karşılaşır, Ama Öklit uzayında olmaz. Matematikçiler, bu meseleyi çözmek için bir yol keşfetti.
Çözüm: Homojen koordinatlar
Homojen koordinatlar, Grafik ve geometrik hesaplamalarını izdüşümsel uzayda mümkün kılmak için , saygıdeğer Ferdinand Möbius tarafından tanıtıldı. Homojen koordinatlar, N-boyutlu koordinatları N+ 1 şeklinde ifade etme şeklidir.2D homojen koordinatları oluşturmak için, Basitçe, ekstra bir değişken olan w'i ekleriz mevcut koordinatlara. Dolayısıyla, kartezyan kordinatlarında (x, y) noktası homojen kordinatlarda (x, y, w) olur. Ve kartezyanda x ve y, homojende x, y ve w ile tekrar ifade edilir;
X = x/w
Y = y/w
Örneğin, Kartezyanda (1, 2) noktası, homojende (1, 2, 1) olur. Eğer bir nokta, (1, 2), sonsuza giderse, kartezyan kordinatlarında o (∞,∞) olur. Ve homojen kordinatlarda o (1, 2, 0) olur, çünkü (1/0, 2/0) = (∞,∞). "∞" 'i kullanmadan sonsuzlukta noktayı ifade edebildiğimize dikkat.
Niye "Homojen" olarak isimlendirilmiştir?
Homojen koordinatlardan (x, y, w) kartezyan koordinatlarına dönüş için, Basitçe, w ile x ve y'i böleriz;
Homojenden kartezyana dönüşte, Önemli bir gerçeği fark edebiliriz. Takip eden örneği görelim;
Gördüğünüz gibi, (1, 2, 3), (2, 4, 6) ve (4, 8, 12) noktaları aynı Öklit noktasına (1 / 3, 2 / 3) karşılık gelir. Ve herhangi bir skaler çarpım, (1a, 2a, 3a), Öklit uzayında (1 / 3, 2 / 3) gibi aynı noktadır. Dolayısıyla bu noktalar "homojendir" çünkü Öklit uzayında(veya Kartezyan uzayında) aynı noktayı temsil ederler. Diğer bir deyişle, Homojen koordinatlar, değişmez ölçeklidir (scale invariant).
Kanıt: İki paralel çizgi kesişebilir.
Öklit uzayında takip eden linear sistemi dikkate al;
Ve C ≠ D 'den dolayı yukarıdaki denklemler için hiçbir çözüm olmadığını biliyoruz.
Eğer C = D ise o zaman İki çizgi aynıdır(üst üste).
Sırasıyla x/w, y/w'e x ve y 'i koyarak izdüşümsel uzay için eşitliği tekrar yazalım.
(C - D)w = 0, w = 0 olduğundan şimdi bir çözüme sahibiz, (x, y, 0). Dolayısıyla, iki paralel çizgi sonsuzlukta bir nokta olan (X, y, 0)'de karşılaşır.
Homojen koordinatlar, mesela bir 2D düzlemine bir 3D sahnesinin yansıltıması gibi bilgisayar grafiklerinde çok faydalı ve temel kavramdır.
